标签 "Optimization" 下的文章

1. 极端问题的定义与哲学在最优化理论中，极端问题（Extremal Problem） 旨在确定某类对象在给定约束下使某个量达到最大或最小。例如：在所有满足约束 $x\in S$ 的函数/向量中，求使 $f(x)$ 极大/极小的 $x$在图、集合、函数族等离散或连续结构中，寻找"最优极端配置"极端问题的本质是 在可行域边界上寻找结构最优解，体现"边界产生极值"的普遍规律2. 极值存在与约束条件（分...

1. 碰撞方程的充分必要性证明必要性证明 (若 $X_i = X_j$，则 $x \equiv (a_i-a_j)\cdot(b_j-b_i)^{-1} \pmod n$)设离散对数问题为：给定 $g$ 和 $h = g^x$，求 $x$。在Pollard's rho中，我们维护三元组 $X_i = (x_i, a_i, b_i)$，其中：$$x_i = g^{a_i} h^{b_i}$$若 $X...

主题：离散数学框架下的最优化理论，包括组合最优化、图论最优化、线性与整数规划的离散表述及其数学推导。1. 离散最优化的定义与基本结构1.1 基本定义离散最优化问题（Discrete Optimization Problem, DOP）可形式化为：$$ \begin{aligned} \text{minimize } & f(x) \\ \text{subject to } & x ...

1) 凸集投影是非扩张（firmly nonexpansive）设闭凸集 $\mathcal C\subset \mathbb R^n$，投影记为 $P(x)=\Pi_{\mathcal C}(x)$。投影的一阶最优性：对任意 $z\in\mathcal C$，有$$ \langle x-P(x), z-P(x)\rangle \le 0. $$取 $z=P(y)$ 得 $\langle x-P(...

1. 凸集1.1 基本定义定义 1.1.1 (凸集)集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 称为凸集，如果对于任意 $x, y \in C$ 和任意 $\theta \in [0,1]$，都有：$$ \theta x + (1-\theta)y \in C $$定义 1.1.2 (凸组合)点 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 的凸组合是指形如：$$ \theta_1...